কোন লকার খোলা থাকবে? – সমাধান

গুণনীয়ক ও গুণিতকের ধারণা পরিস্কার করার জন্য আমরা একটি গাণিতিক সমস্যা িনয়ে আলাপ করছি। সমস্যাটি র বর্ণণা পাওয়া যাবে কোন লকার খোলা থাকবে ।

এই সমস্যার সমাধান করার জন্য আমাদের বোঝা দরকার কোন লকারটা আসলে কোন শিক্ষার্থী খুলবে বা বন্ধ করবে। যেমন ১মটা। প্রথম জন খোলার পর আর কিন্তু কেউ ধরবে না। তার মানে এটা খোলাই থাকবে। ২ নং লকারের বেলায় প্রথম জন খুলবে, কিন্তু দ্বিতীয় জন বন্ধ করে যাবে। ৩ নং?
৩ নংটা প্রথম জন খুলবে। দ্বিতীয় জন কিন্তু সেটির দিকে তাকাবে না কারণ ৩ কিন্তু ২ এর গুণিতক নয়। কিন্তু তৃতীয় জন যেহেতু ৩ দিয়ে শুরু করবে। কাজে সে খোলা ৩ নংটা বন্ধ করে দেবে। ৪ নং এর বেরায় কী হবে। ১ম জন খুলবে। ২য জন বন্ধ করবে। ৩য় জন ধরবে না। ৪র্থ জন খুলবে। ৫ম জন ধরবে না।

এভাবে আমরা একটা একটা করে ১০০ পর্যন্ত যেতে পারি। তবে আরও সহজ রাস্তা আছে।

আমরা যেকোন একটা নেই। যেমন ৩০ নং। এখন দেখে এটার কী হবে। ১ম জন এটি খুলবে। যেহেতু ৩০ একটি জোড় সংখ্যা কাজে দ্বিতীয় জন এটি বন্ধ করে দেবে। ৩০ কিন্তু ৩ এর গুণিতক। কাজে ৩ নম্বর এসে দেখবে এটি বন্ধ। সে খুলে দিয়ে যাবে। ৪র্থ জন এটিতে নজর দেবে না কারণ ৩০ কিন্তু ৪ এর গুনিতক নয়।কিন্তু ৫ম জন এটি বন্ধ করবে এবং ৬ষ্ঠ জন আবার খুলে দিয়ে যাবে। যেহেতু ৩০ কিন্ত ৫ ও ৬ উভয়েরই গুণিতক।

এটুকু করে আমরা বুজতে পারছি, কোন একটা লকার কতোজন শিক্ষার্থী খুলবে বা বন্ধ করবে সেটি নির্ভর করছে ঐ লকারের নম্বরটি শিক্ষার্থীর নম্বরের গুণিতক কি না তার ওপর। তার মানে যে ৩০ নম্বর লকারের খোলা-বন্ধের কাজটা ধারাবাহিকভাবে করবে ১,২,৩,৫,৬,১০,১৫ ও ৩০ নম্বর শিক্ষার্থী। ১,২,৩,৫,৬,১০,১৫ ও ৩০- এই ৮টি হলো ৩০ এর গুণণীয়ক। দেখা যাচ্ছে মোট ৮ জন এটি খুলবে বা বন্ধ করবে। যেহেতু খোলা-বন্ধ জোড়ায় হচ্ছে কাজে যে সব সংখ্যার জোড় সংখ্যক গুণণীয়ক আছে সেগুলোর সবই কিন্তু বন্ধ হয়ে যাবে।

তাহলে খোলা থাকবে কোনগুলো?

৪ খোলা থাকে। ৪ এর গুণণীয়ক হলো ১,২ ও ৪। অর্থাৎ বেজোড় সংখ্যক। তার মানে যে সব সংখ্যার বেজোড় সংখ্যাক গুননীয়ক আছে সেগুলোই খোলা থাকবে।
গুণনীয়ক বের করার সময় আমরা দেখি, সব গুণণীয়ক জোড়ায় থাকে যেমন ৬ এর গুণণীয়ক হলো (১,৬) এবং (২,৩)।

৪ এর বেলায় কেন বেজোড়?
কারণ এর একটা জোড়ায় একই সংখ্যা ২ বার আছে আছে। ৪ এর গুণণীয়ক হলো (১,৪) ও (২,২)।

এরকম হলো ১৬ (১,১৬), (২,৮), (৪,৪)। তারমানে ১,২,৪, ৮ ও ১৬। অর্থাৎ ৫টি।

৪ এবং ১৬ এর বেলায় আমরা দেখছি ওদের গুণণীয়ক জোড়ার একটি হলো একই সংখ্যা দুই বার। অর্থাৎ ওদের একটি গুণণীয়ক হলো সেই সংখ্যা যাকে দিয়ে সেই সংখ্যাকে পূরণ করলে আমরা ঐ মূল সংখ্যাটি পাচ্ছি। তার মানে ঐটি একটি বর্গ সংখ্যা। এবং এর একটি গুণণীয়ক হলো এর বর্গমূল।
তারমানে ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলো পূর্ণ বর্গ কেবল সেই লকারগুলো খোলা থাকবে। বাকী গুলো সব বন্ধ থাকবে।

আর সেগুলো হলো – ১,৪,৯,১৬,২৫,৩৬,৪৯,৬৪,৮১,১০০