কী ঘর বানাইমু আমি শূণ্যেরও মাঝার

গণিতে শূণ্যের ব্যাপারটা খুব একটা সহজ না। বিশেষ করে কোন সংখ্যাকে শূণ্য দিয়ে ভাগ করতে গেলেই ম্যালা প্যাচাল লাগে। এ কারণ প্রাথমিক স্তরে শূণ্য দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না।

তবে, আমাদের গণিত অলিম্পিয়াডে শুরু থেকে শূণ্যের প্রভাব প্রতিপত্তি অনেক। প্রশ্নোত্তর পর্বে থাকে শূণ্য জোড় না বিজোড় সেই অনুসন্ধান। তবে, গণিতের যে সমস্যাগুলো আমাদের প্রশ্নে থাকে তার মধ্যে জনপ্রিয় হলো কোন একটি সংখ্যার শেষে কয়টি শূণ্য আছে সেটা বের করতে বলা।
২৮ জানুয়ারি ২০২২ সালে আমাদের গণিত উৎসবের বাছাই পর্ব। সকালে উঠে মনে হল 100! (ফ্যাকটোরিয়াল 100) তে কয়টি শূণ্য আছে সেটা বের করা যাক।
তো এমন প্রশ্নের উত্তর বাসায় গুগল এসিস্ট্যান্ট বা সিরিকে জিজ্ঞাষা করলেই ল্যাঠা চুকে যায়।

আমরা আমাদের মতো করে এই প্রশ্নের উত্তর খোঁজার চেষ্টা করি।

কোন সংখ্যার ফ্যাকটোরিয়াল (! এই চিহ্ন দিয়ে সেটা বোঝানো হয়) হলো সেই সংখ্যাকে তার চেয়ে ছোট সব পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করে গুণফল বের করা। যেমন 4! হলো – 4×3×2×1=24।

তার মানে 100! হলো 100×99×98×…..3×2×1

এখন কোন সংখ্যার শেষে 0 থাকার অর্থ হলো এটি 10 দ্বারা বিভাজ্য। বা কোন সংখ্যাকে ১০ দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটির শেষে একটি 0 যোগ হয়। যেমন 5×10=50

তাহলে আমরা এই 100টি সংখ্যাতে 10 এর গুণিতক কয়টি আছে সেটা বের করে ফেলি। এগুলো হলো10,20,30,40,50,60,70,80,90 ও 100। এর মধ্যে 100 এর মধ্যে 10 আছে দুইবার। তার মানে পুরো সংখ্যাটিকে কমপক্ষে ১১ বার ১০ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। মানে কমপক্ষে ১১টি শূণ্য আছে।

হলো। না!
কেন?

কারণ আমরা শুধু 10 এর গুণ বের করেছি। কিন্তু অনেক সংখ্যা  আছে যেগুলোকে 10 ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করলেও শেষে 0 পাওয়া যায়। যেমন 8×5=40। বা তাহলে তো আমাদের 11টি শূণ্যে থামা চলবে না।
আমরা 8×5 কে আরও ভাঙ্গতে পারি। এটাকে বলা হয় কোন সংখ্যাকে তার মৌলিক গুণনীয়কে ভেঙ্গে ফেলা।
8×5=2×2×2×5 এবং একটু কায়দা করে আমরা লিখতে পারি 8×5=2×2×(2×5)

মনে হয় আমরা এবার ধরতে পেরেছি আমাদের প্রথম হিসেবে নেহায়েত খারাপ ছিল না। কারণ  (2×5)=10। Holla

তারমানে কোন একটা সংখ্যাকে কোন মতে যদি আমরা 2 ও 5 দিয়ে গুণ করি, গুণফলে সেখানে 0 পাওয়া যাবে।
এখন আমরা 100×99×98×…..3×2×1 এর মধ্যে কয়টি 2 আর কয়টি 5 আছে সেটা বের করতে পারি।

5 এর গুণিতকগুলো আমরা বের করে ফেলি এগুলো হলো 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100। মোট 20টি। এর মধ্যে 25,50,75 আর100 এর মধ্য 5 আছে দুইবার করে।

25=5×5
50=2×5×5
75=3×5×5
100=2×2×5×5

তার মানে 20+4=24 টি 5 আছে আমাদের।

এখন আমাদের দেখা দরকার 100×99×98×…..3×2×1-এর মধ্যে 2 কি 24 এর চেয়ে কম, না বেশি আছে।
জানা কথা বেশি আছে। কারণ জোড় সংখ্যাই তো আছে 50টি। তারমানে এই 24টি 5 এর সঙ্গে আমরা 24টি 2 পাবো যারা কিনা প্রত্যেকে গুণফলে একটি করে 0 যোগ করবে। কাজে আমাদের সংখ্যার শেষে 24টি শূণ্য থাকবে।

এখন আমরা যাচাই করে দেখি আমাদের এই পদ্ধতিটা ঠিক আছে কিনা। আমরা কয়েকটি সংখ্যার ফ্যাকটোরিয়াল বের করি

এখন আমরা নিশ্চিত যে, আমরা যে পদ্ধতিতে সমাধান করেছি সেটিতে সঠিক সমাধানই পাওয়া গেছে। কাজে 100! এর শেষে 24টি শূণ্য আছে।

যারা এখনও বিশ্বাস করতে পারছেন না তারা 100!-এ শূণ্য গুণতে পারেন

93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000

হ্যাপি কাউন্টিং