প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ : গণিতের প্রস্তুতি -২

প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ : গণিতের প্রস্তুতি -১

নিয়োগ কিংবা ভর্তি পরীক্ষায় সাফল্যের চাবিকাঠি হলো দ্রুততম সময়ে সঠিক উত্তর করা। সেজন্য প্রস্তুতি পর্যায়ে নানা কিছু করতে হয় যাতে প্রশ্ন পড়েই উত্তর পাবার মূল ব্যাপারটা মাথাতে আসে।

নিচের সমস্যাটা ধরা যাক –
জাহিরা সাইকেলে করে প্রতিদিন স্কুলে যায়। সকালে যাবার সময় তার গতিবেগ থাকে ঘন্টায়৮ কিলোমিটার। কিন্তু স্কুল ছুটির পর ও যথেষ্ঠ ক্লান্ত হয়ে পরে। কাজে ফেরার সময় ওর গতিবেগ হয় ঘন্টায় ৬ কিলোমিটার। যাওয়া আসায় তাহলে তার গড় গতিবেগ কতো ছিল?

চট করে আমরা প্রশ্নকর্তার ফাঁদে পা দেই। যেহেতু একাধিক সংখ্যার গড় হচ্ছে সংখ্যাগুলোর যোগফল ভাগ সংখ্যার সংখ্যা। কাজে এখানে গড় হবে (৮+৬)/২=৭ মাইল!!!

ঘটনা আসলে তা নয়। এখানে আমাদের চেতন মন একটা ঝামেলা আঁচ করতে পারলেও গভীরে যেতে না চাওয়ার প্রবণতা আমাদের ভুল পথে ঠেলে। যেহেতু ব্যাপারটা গড়বেগের তাই প্রথমে গড়বেগের ব্যাপারটা ভাবতে হবে। তাহলেই সঠিক সমাধান করতে পারবেন।

এই সমস্যার সমাধান করার জন্য আমাদের জানা দরকার গড় বেগ কি। মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে গড় বেগটা পাওয়া যায়।

যাবার সময় জাহিরা ১ কিলোমিটার গিয়েছে ১/৮ ঘন্টায়
আসার সময় ১ কিলোমিটার এসেছে ১/৬ ঘন্টায়।
তাহলে ও মোট (১=১)=২ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করেছ (১/৮+১/৬)=৭/২৪ ঘন্টায়।

গড় গতিবেগ হলো = ২ /(৭/২৪)=৪৮/৭=৬.৮৫ কিমি/ঘন্টা

এখন সবচেয়ে জরুরী প্রশ্ন। এই প্রশ্নের সমাধানের জন্য যদি আমার এক মিনিট সময়ও না থাকে তাহলে কি এভাবে সমস্যার সমাধান করা যাবে? যারা দ্রুত পারেন তারা হয়তো পারতেও পারেন। কিন্তু আমি পারবো না ফর সিওর।

তাহলে আমার উপায় কী?

আচ্ছা এই প্রশ্নে যদি জাহিরার বাসা থেকে স্কুলের দূরত্ব দেওয়া থাকতো তাহলে কি আপনি ফাঁদে পা দিতেন? দিতেন না। কারণ তখন আপনি যাওয়ার সময় আর ফেরার সময় বের করতেন প্রথমে। কিন্তু, স্কুল থেকে বাড়ির দূরত্ব তো দেওয়া নাই। আর যেটুকু তথ্য দেওয়া আছে তাতে তো দূরত্ব বের করা অসম্ভব! তাহলে?

আচ্ছা। স্কুলের একটা দূরত্ব দিয়ে দিয়ে আমরা সমস্যার সমাধান করি।

বাড়ি থেকে জাহিরা স্কুলের দূরত্ব ৪৮ কিলোমিটার। জাহিরা সাইকেলে করে প্রতিদিন স্কুলে যায়। সকালে যাবার সময় তার গতিবেগ থাকে ঘন্টায়৮ কিলোমিটার। কিন্তু স্কুল ছুটির পর ও যথেষ্ঠ ক্লান্ত হয়ে পরে। কাজে ফেরার সময় ওর গতিবেগ হয় ঘন্টায় ৬ কিলোমিটার। আসা যাওয়ায় তাহলে তার গড় গতিবেগ কতো ছিল?

এখন তো সোজা হয়ে গেল তাই না।
যাবার সময় ওর কতো সময় লেগেছে?

৪৮/৮= ৬ ঘন্টা
আর ফেরার সময়, ৪৮/৬=৮ ঘন্টা।
তাহলে আসা যাওয়ার মোট সময় = ৬+৮=১৪ ঘন্টা। আর মোট দূরত্ব = ৪৮+৪৮= ৯৬ কিলোমিটার।
তাহলে গড় গতিবেগ কী হলো
৯৬/১৪ বা ৪৮/৭!!! আগেই দেখেছি এটাই আমাদের সমাধান।

কী বললেন? স্কুল থেকে বাড়ির দূরত্ব ৪৮ কিলোমিটার কেন দিয়েছি?

একটু ভাবুন।

…

…

…

৪৮ হলো ৮×৬। মানে ৪৮ হলো ৮ ও ৬ এর গুণিতক। কাজে ৪৮কে ৮ বা ৬ দিয়ে ভাগ করলে কোন ভাগশেষ থাকবে না।
আমি ভগ্নাংশে না যাওয়ার জন্যই এই কাজটা করেছি।
ও হ্যা। ৪৮ কিন্তু ৮ ও ৬ এর একটি সাধারণ গুণিতক (সাগু)।

এখন কিন্তু চিন্তাটা ধরা যাচ্ছে। যদিও মূল প্রশ্নে স্কুলের দূরত্ব দেওয়া নাই, তারপরও আমরা হিসাবের সুবিধার জন্য একটা দূরত্ব ধরতে পারি।

এই ধরতে পারাটা করলেই আমাদের প্রথম মাথাতে আসে – ক বা এক্স। সেক্ষেত্রে আবারও ভগ্নাংশ থাকে। যেহেতু স্কুলের দূরত্ব বের করতে বলা হয়নি। তাই একটি অজানা রাশি টেন আনার দরকার নাই।

আমরা দেখে ফেলেছি স্কুলের দূরত্ব যদি ৮ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতকের একটি হয় তাহলে আসা যাওয়ায় ভাঙ্গা ঘন্টা লাগে না। হিসাবটা সহজ হয়। কাজে ৮ ও ৬ এর যে কোন একটা সাধারণ গণিতক ধরে নিয়ে সমস্যাটা সহজে সমাধান করা যাবে।

এবার যেহেতু মূল ব্যাপারটা আমরা ধরে ফেলেছি আমরা এটিকে আরও সংক্ষিপ্ত করতে পারি। যেহেতু সকল সাধারণ গুণিতকের একই বৈশিষ্ট্য কাজে আমরা যদি৮ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতকের মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি নেই তাহলে কাজটা আরো সহজ হয়। সাধারণ গুণিতকের সবচেয়ে ছোটটির নামই হল লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু! মনে পড়েছে তাই না?

ব্যাস হয়ে গেল। ৮ ও ৬ এর লসাগু কতো? ২৪।

কাজে বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্ব যদি ২৪ কিলোমিটার হয় তাহলে, গড় গতিবেগ দাড়াবে

(যাওয়া (২৪)+আসা (২৪))/(যেতে সময় (৩)+আসার সময় (৪))=৪৮/৭!!!

ইয়াহু! কী সুন্দর। এক লাইনে হয়ে গেল।

এখন তো ১ মিনিটে পারা যাবে তাই না?

প্রশ্ন কিন্তু থেকেই গেল। এই যে চটকরে করে ফেলার দক্ষতা এটা কেমন করে অর্জন করা যাবে?